תוכן עניינים
מבוא תיאורטי: מהו משתנה מקרי בדיד?
בתורת ההסתברות, משתנה מקרי הוא פונקציה שמתאימה ערך מספרי לכל תוצאה אפשרית במרחב המדגם של ניסוי מקרי. [7] לדוגמה, בהטלת קובייה, המשתנה המקרי יכול להיות המספר שמתקבל על הפאה העליונה. [6] המשתנה המקרי הופך את מרחב ההסתברות למערכת מתמטית שבה ניתן לחשב מדדים כמו תוחלת ושונות. [7]
משתנה מקרי נקרא בדיד אם קבוצת הערכים שהוא יכול לקבל היא סופית או בת-מנייה (כלומר, ניתן למנות את איבריה ברשימה). [1, 2] דוגמאות נפוצות כוללות את מספר ההצלחות בסדרת ניסויים, מספר שיחות הטלפון המתקבלות במרכזייה בשעה, או התוצאה של הטלת קובייה. [6, 16] לכל ערך שהמשתנה יכול לקבל, אנו משייכים הסתברות, ורשימת הערכים וההסתברויות המתאימות להם נקראת פונקציית ההסתברות (pmf) של המשתנה. [1, 6]
התפלגות בינומית
התפלגות בינומית מתארת את מספר ההצלחות, \(k\), בסדרה של \(n\) ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כאשר ההסתברות להצלחה בכל ניסוי בודד היא \(p\). [10, 11] ניסוי ברנולי הוא ניסוי עם שתי תוצאות אפשריות בלבד: "הצלחה" או "כישלון". [5] משתנה מקרי \(X\) המתפלג בינומית מסומן כ-\(X \sim \text{Bin}(n, p)\).
פונקציית ההסתברות נתונה על ידי הנוסחה:
$$ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
כאשר \( \binom{n}{k} \) הוא המקדם הבינומי, "n בחר k". [10]
שאלה לדוגמה: התפלגות בינומית
צלף פוגע במטרה ב-80% מהיריות שלו. הצלף יורה 10 יריות. מה ההסתברות שהוא יפגע במטרה בדיוק 7 פעמים?
שלב 1: זיהוי הפרמטרים
זהו מקרה של התפלגות בינומית כי יש סדרה של ניסויים בלתי תלויים (יריות), עם שתי תוצאות (פגיעה/החטאה) והסתברות קבועה להצלחה.
- מספר הניסויים: \( n = 10 \)
- הסתברות להצלחה (פגיעה): \( p = 0.8 \)
- מספר ההצלחות הרצוי: \( k = 7 \)
שלב 2: הצבה בנוסחה
נשתמש בנוסחת ההתפלגות הבינומית: \( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
$$ P(X=7) = \binom{10}{7} (0.8)^7 (1-0.8)^{10-7} $$
שלב 3: חישוב
$$ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 $$
$$ P(X=7) = 120 \times (0.8)^7 \times (0.2)^3 $$
$$ P(X=7) = 120 \times 0.2097152 \times 0.008 \approx 0.2013 $$
תשובה: ההסתברות שהצלף יפגע במטרה בדיוק 7 פעמים היא כ-20.13%.
התפלגות גיאומטרית
התפלגות גיאומטרית מתארת את מספר ניסויי הברנולי הנדרשים עד להשגת ההצלחה הראשונה. [9, 18] אם ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא \(p\), המשתנה המקרי \(X\) סופר את מספר הניסיונות שבוצעו, כולל הניסיון המוצלח. [13] המשתנה \(X\) יכול לקבל ערכים \(k = 1, 2, 3, \ldots\).
פונקציית ההסתברות נתונה על ידי הנוסחה:
$$ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $$
תכונה חשובה של התפלגות זו היא חוסר זיכרון, כלומר ההסתברות להצלחה בניסיון הבא אינה תלויה במספר הכישלונות שנצברו עד כה. [9]
שאלה לדוגמה: התפלגות גיאומטרית
ההסתברות להוציא כדור אדום מכד היא 0.2. מוציאים כדורים בזה אחר זה (עם החזרה) עד שיוצא כדור אדום. מה ההסתברות שהכדור האדום הראשון יצא בניסיון הרביעי?
שלב 1: זיהוי הפרמטרים
אנו מחפשים את ההסתברות להצלחה ראשונה בניסיון ספציפי.
- הסתברות להצלחה (כדור אדום): \( p = 0.2 \)
- מספר הניסיון של ההצלחה הראשונה: \( k = 4 \)
שלב 2: הצבה בנוסחה
המשמעות היא שצריכים להיות 3 כישלונות רצופים, ואז הצלחה אחת.
$$ P(X=4) = (1-0.2)^{4-1} \times 0.2 $$
שלב 3: חישוב
$$ P(X=4) = (0.8)^3 \times 0.2 $$
$$ P(X=4) = 0.512 \times 0.2 = 0.1024 $$
תשובה: ההסתברות שהכדור האדום הראשון יצא בניסיון הרביעי היא 10.24%.
התפלגות פואסון
התפלגות פואסון מתארת את מספר האירועים המתרחשים בפרק זמן או מרחב קבוע, כאשר אירועים אלה מתרחשים בקצב ממוצע קבוע ובאופן בלתי תלוי זה בזה. [14, 16] דוגמאות כוללות מספר לקוחות המגיעים לבנק בשעה או מספר טעויות הקלדה בעמוד. [17, 20] ההתפלגות תלויה בפרמטר יחיד, \(\lambda\) (למדא), המייצג את קצב האירועים הממוצע. [15]
פונקציית ההסתברות נתונה על ידי הנוסחה:
$$ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} $$
כאשר \(k\) הוא מספר האירועים, ו-\(e\) הוא בסיס הלוגריתם הטבעי.
שאלה לדוגמה: התפלגות פואסון
למוקד טלפוני מגיעות בממוצע 5 שיחות בדקה. מה ההסתברות שבמהלך דקה מסוימת יתקבלו בדיוק 3 שיחות?
שלב 1: זיהוי הפרמטרים
השאלה עוסקת במספר אירועים (שיחות) ביחידת זמן קבועה (דקה), ונתון הקצב הממוצע.
- הקצב הממוצע: \( \lambda = 5 \) שיחות לדקה
- מספר האירועים הרצוי: \( k = 3 \)
שלב 2: הצבה בנוסחה
$$ P(X=3) = \frac{e^{-5} 5^3}{3!} $$
שלב 3: חישוב
$$ P(X=3) = \frac{e^{-5} \times 125}{6} $$
$$ e^{-5} \approx 0.006738 $$
$$ P(X=3) \approx \frac{0.006738 \times 125}{6} \approx 0.1404 $$
תשובה: ההסתברות שיתקבלו בדיוק 3 שיחות בדקה היא כ-14.04%.
התפלגות אחידה בדידה
התפלגות אחידה בדידה היא הפשוטה מבין ההתפלגויות. היא מתארת מצב שבו לכל אחת מ-\(n\) התוצאות האפשריות יש הסתברות שווה להתרחש. [3, 8] הדוגמה הקלאסית היא הטלת קובייה הוגנת, שבה לכל מספר מ-1 עד 6 יש הסתברות של 1/6. [25]
אם למשתנה מקרי \(X\) יש \(n\) ערכים אפשריים \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\), פונקציית ההסתברות היא:
$$ P(X=x_i) = \frac{1}{n} $$
לכל \(i=1, \ldots, n\).
שאלה לדוגמה: התפלגות אחידה בדידה
גלגל מזל מחולק ל-8 גזרות שוות בגודלן, הממוספרות מ-1 עד 8. מה ההסתברות שהגלגל ייעצר על המספר 5?
שלב 1: זיהוי הפרמטרים
לכל גזרה יש סיכוי שווה להיבחר.
- מספר התוצאות האפשריות: \( n = 8 \)
שלב 2: חישוב ההסתברות
ההסתברות לכל תוצאה ספציפית היא \(1/n\).
$$ P(X=5) = \frac{1}{8} $$
תשובה: ההסתברות שהגלגל ייעצר על המספר 5 היא 1/8 או 12.5%.
טבלת סיכום התפלגויות
| התפלגות | תיאור | פרמטרים | תוחלת (E[X]) | שונות (Var(X)) |
|---|---|---|---|---|
| בינומית | מספר הצלחות ב-n ניסויים | \(n, p\) | \(np\) [11] | \(np(1-p)\) [11] |
| גיאומטרית | מספר ניסיונות עד הצלחה ראשונה | \(p\) | \(1/p\) [5] | \((1-p)/p^2\) [5] |
| פואסון | מספר אירועים ביחידת זמן/מרחב | \(\lambda\) | \(\lambda\) [17] | \(\lambda\) [17] |
| אחידה בדידה | לכל התוצאות הסתברות שווה | \(\{a, \dots, b\}\) | \((a+b)/2\) [25] | \(((b-a+1)^2-1)/12\) [25] |
שאלות נפוצות
משתנה מקרי בדיד יכול לקבל מספר סופי או בן-מנייה של ערכים (כמו מספר הילדים במשפחה), בעוד שמשתנה מקרי רציף יכול לקבל כל ערך בטווח מסוים (כמו גובה של אדם או טמפרטורה). [2]
ניתן להשתמש בהתפלגות פואסון כקירוב טוב להתפלגות הבינומית כאשר מספר הניסויים \(n\) גדול מאוד וההסתברות להצלחה \(p\) קטנה מאוד (נדירה). [17] במקרה זה, מציבים \( \lambda = np \).
תוחלת (Expected Value) היא הממוצע ארוך הטווח של המשתנה המקרי. היא מייצגת את הערך הממוצע שהיינו מצפים לקבל אם היינו חוזרים על הניסוי מספר אינסופי של פעמים. היא מחושבת כסכום של כל ערך אפשרי כפול ההסתברות שלו. [7]