מחשבון פונקציות טריגונומטריות

הסבר תיאורטי: זהויות טריגונומטריות בסיסיות

טריגונומטריה עוסקת בקשרים בין זוויות ואורכי צלעות במשולשים, ובעיקר במשולש ישר-זווית. הזהויות הטריגונומטריות הן יחסים קבועים המוגדרים על ידי מעגל היחידה או יחסי הצלעות במשולש ישר-זווית.

1. משולש ישר-זווית ופונקציות ראשיות

עבור זווית חדה במשולש ישר-זווית:

הנה איור הממחיש את היחסים במשולש ישר-זווית:

• **סינוס (sin)**: היחס בין ה**ניצב שמול** הזווית ל**יתר**. sin(θ) = ניצב מול / יתר
• **קוסינוס (cos)**: היחס בין ה**ניצב של יד** הזווית ל**יתר**. cos(θ) = ניצב ליד / יתר
• **טנגנס (tan)**: היחס בין ה**ניצב שמול** הזווית ל**ניצב של יד** הזווית. tan(θ) = ניצב מול / ניצב ליד = sin(θ) / cos(θ)

2. מעגל היחידה ופונקציות הופכיות

מעגל היחידה הוא מעגל שרדיוסו 1 ומרכזו בראשית הצירים (0,0). נקודה כלשהי על המעגל מוגדרת על ידי קואורדינטות (x,y), כאשר x = cos(θ) ו- y = sin(θ).

הנה איור של מעגל היחידה:

הפונקציות ההדדיות:

• **קוסקנס (csc)**: ההופכי של סינוס. csc(θ) = 1 / sin(θ)
• **סקנס (sec)**: ההופכי של קוסינוס. sec(θ) = 1 / cos(θ)
• **קוטנגנס (cot)**: ההופכי של טנגנס. cot(θ) = 1 / tan(θ)

---

3. זהויות פיתגוריות יסודיות

זהויות אלו נובעות ממשפט פיתגורס המיושם על משולש ישר-זווית במעגל היחידה:

• **זהות יסודית 1:** sin²(θ) + cos²(θ) = 1
• **זהות יסודית 2:** 1 + tan²(θ) = sec²(θ)
• **זהות יסודית 3:** 1 + cot²(θ) = csc²(θ)

---

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: זווית 30

נחשב את ערכי הפונקציות עבור זווית של 30

פתרון: (הערכים המדויקים והקירוב שלהם)

• sin(30°) = 1/2 = 0.5
• cos(30°) = שורש(3)/2 ≈ 0.8660
• tan(30°) = 1/שורש(3) ≈ 0.5774
• csc(30°) = 1 / (1/2) = 2
• sec(30°) = 1 / (שורש(3)/2) ≈ 1.1547
• cot(30°) = שורש(3) ≈ 1.7321

דוגמה 2: זווית 90 (או פאי רדיאנים)

נחשב את ערכי הפונקציות עבור זווית ישרה. נקודת המעגל היא (0, 1).

פתרון:

• sin(90°) = 1
• cos(90°) = 0
• tan(90°) = 1 / 0 → לא מוגדר
• csc(90°) = 1 / 1 = 1
• sec(90°) = 1 / 0 → לא מוגדר
• cot(90°) = 0 / 1 = 0