מהי התפלגות חי-בריבוע (χ²)?
התפלגות חי-בריבוע (Chi-Square) היא התפלגות סטטיסטית, המשמשת בעיקר לבדיקות:
- טיב התאמה (Goodness of Fit) - בדיקה אם מדגם מגיע מאוכלוסייה עם התפלגות מסוימת
- אי תלות (Independence) - בדיקה אם יש קשר בין שני משתנים קטגוריאליים
- הומגניות (Homogeneity) - בדיקה אם מספר אוכלוסיות חולקות אותה התפלגות
מבנה טבלת התפלגות χ²
טבלת התפלגות χ² מכילה ערכים קריטיים של התפלגות χ² עבור רמות מובהקות שונות (α) ומספר דרגות חופש (df).
דרגות חופש (df)
מספר דרגות החופש בטבלת χ² תלוי בסוג הבדיקה:
- בדיקת טיב התאמה: df = k - 1 (כאשר k הוא מספר הקטגוריות)
- בדיקת אי תלות: df = (r - 1) × (c - 1) (כאשר r הוא מספר השורות ו-c הוא מספר העמודות)
רמת מובהקות (α)
רמת המובהקות מייצגת את ההסתברות לדחיית השערת האפס כאשר היא נכונה (שגיאה מסוג I).
דוגמאות לשימוש בטבלה
דוגמה 1: בדיקת טיב התאמה
נניח שיש לנו 5 קטגוריות (df = 4) ורמת מובהקות של 0.05.
בטבלה, נמצא את השורה המתאימה ל-df=4 ואת העמודה המתאימה ל-α=0.05.
הערך בטבלה הוא 9.4877.
דוגמה 2: בדיקת אי תלות
נניח שיש לנו טבלת 3×3 (df = 4) ורמת מובהקות של 0.01.
הערך הקריטי מהטבלה הוא 13.2767.
אם ערך ה-χ² שחישבנו גדול מ-13.2767, נדחה את השערת האפס.
דוגמה 3: חישוב רווח סמך לשונות
לחישוב רווח סמך ל-95% לשונות, עם df=9:
הערכים הקריטיים מהטבלה הם 2.7004 (α=0.975) ו-19.0228 (α=0.025).
רווח סמך = [(n-1)s²/χ²α/2, (n-1)s²/χ²1-α/2]
מבחן חי-בריבוע (Chi-Square Test)
מבחן חי-בריבוע לאי-תלות בודק האם קיים קשר סטטיסטי מובהק בין שני משתנים איכותיים (קטגוריאליים).
דוגמה מעשית: קשר בין מגדר להעדפת שיטת לימוד
חוקר מעוניין לבדוק האם יש קשר בין מגדר (גבר / אישה) לבין העדפה לשיטת לימוד (פרונטלי / מקוון). נאספו נתונים מ מדגם של 100 סטודנטים:
טבלת השכיחויות הנצפות (Observed Counts - O):
| מגדר / שיטה |
פרונטלי |
מקוון |
סך הכל שורה |
| גברים |
30 |
10 |
40 |
| נשים |
20 |
40 |
60 |
| סך הכל עמודה |
50 |
50 |
100 (N) |
תנאי תחולה והשכיחויות הצפויות (Expected Counts - E)
כדי שמבחן חי-בריבוע יהיה תקף, חייבים להתקיים התנאים הבאים:
- תצפיות בלתי תלויות: כל נבדק מופיע בתא אחד בלבד בטבלה.
- גודל שכיחות צפויה: השכיחות הצפויה בכל תא בטבלה צריכה להיות לפחות 5 (בטבלאות גדולות מ-2x2 מותר שעד 20% מהתאים יהיו מתחת ל-5, אך אף תא לא יהיה קטן מ-1).
נוסחת השכיחות הצפויה לתא:
E = (סך שורה × סך עמודה) / N
בדוגמה שלנו: השכיחות הצפויה עבור גברים המעדיפים למידה מקוונת היא: (40 × 50) / 100 = 20 (גדול מ-5, ולכן תנאי התחולה מתקיים!).
איך מריצים את הדוגמה בתוכנות סטטיסטיות?
ב-R / R Studio
ניתן להגדיר את הטבלה ישירות ולהריץ את המבחן:
# יצירת טבלת השכיחויות
data_matrix <- matrix(c(30, 10, 20, 40),
nrow = 2,
byrow = TRUE)
# הרצת מבחן חי-בריבוע
results <- chisq.test(data_matrix)
print(results)
# הצגת השכיחויות הצפויות לבדיקת הנחות
results$expected
ב-SPSS
דרך הממשק הגרפי:
- תפריט עליון: Analyze > Descriptive Statistics > Crosstabs
- הכנס את
Gender ל-Rows ואת Method ל-Columns.
- כפתור Statistics: סמן Chi-square.
- כפתור Cells: תחת Counts סמן גם Observed וגם Expected.
- לחץ OK.
ב-JASP
הגדרת המבחן בקלות:
- תפריט עליון: Frequencies > Contingency Tables
- גרור את המשתנים ל-Rows ול-Columns.
- תחת לשונית Statistics: סמן Chi-square.
- תחת לשונית Cells: סמן Expected תחת Counts כדי לוודא שאין תאים מתחת ל-5.
