1. התפלגויות בדידות וחישובים מספריים
1.
במוקד שירות נמדדו מספר הפניות ב-4 דקות בלתי תלויות. התוצאות שהתקבלו הן: 2, 5, 0, 3. בהנחה שהתפלגות מספר הפניות היא פואסונית, מצא את ה-MLE עבור הפרמטר למדא.
2.
נתונה פונקציית הסתברות למשתנה X המקבל את הערכים 1 ו-2 בלבד: P(X=1) = p, P(X=2) = 1-p. במדגם של 50 תצפיות, הערך "1" הופיע 35 פעמים. מהו אומד הנראות המקסימלית עבור p?
3.
בכד יש כדורים ממוספרים מ-1 עד N. הוצאנו עם החזרה 3 כדורים והמספרים עליהם היו: 7, 12, 9. מצא את ה-MLE עבור הפרמטר N.
4.
נתונה פונקציית הסתברות למשתנה בדיד: P(X=0) = p, P(X=1) = p^2, P(X=2) = 1 - p - p^2. במדגם של 10 תצפיות התקבלו הערכים: {0,0,0,0,1,2,2,2,2,2}. מצא את ה-MLE עבור p.
2. התפלגויות רציפות ופרמטרים מרובים
5.
במדגם של 5 מכשירים חשמליים נמצא כי זמני העבודה עד התקלה היו (בשעות): 10, 15, 20, 25, 30. בהנחה שהזמן מתפלג מעריכית (אקספוננציאלית), מצא את ה-MLE עבור למדא.
6.
נתון מדגם של 4 תצפיות מתוך התפלגות נורמלית N(mu, sigma^2): התצפיות הן {2, 4, 6, 8}. חשב את ה-MLE עבור התוחלת (mu) ועבור השונות (sigma^2).
7.
יהי מדגם מקרי X1, ..., Xn מהתפלגות אחידה רציפה בקטע [0, theta]. מצא את אומד הנראות המקסימלית עבור theta.
8.
מתוך התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות לא ידועה, נדגמו התצפיות: 3-, 1, 4. מצא את ה-MLE עבור סטיית התקן (sigma).
תשובות סופיות
1) למדא = 2.5
2) p = 0.7
3) N = 12
4) p = 0.358
5) למדא = 0.05
6) mu=5, sigma^2=5
7) theta = Max(Xi)
8) sigma = 2.94