Cos'è la distribuzione normale standard?
La distribuzione normale standard è una distribuzione di probabilità a forma di campana, simmetrica attorno alla media zero, con deviazione standard pari a uno. È alla base di numerosi test statistici e viene usata per:
- Test Z – Confrontare una media campionaria con una media di riferimento, quando la deviazione standard della popolazione è nota.
- Intervalli di confidenza – Stimare un parametro della popolazione con un certo livello di fiducia.
- Calcolo di probabilità – Determinare la probabilità che una variabile casuale assuma valori in un dato intervallo.
- Standardizzazione – Convertire qualsiasi variabile normale in punteggi Z confrontabili.
Il punteggio Z (z-score)
Il punteggio Z indica quante deviazioni standard un valore si discosta dalla media della distribuzione. Si calcola con la formula:
dove X è il valore osservato, μ è la media della popolazione e σ è la deviazione standard.
Due tavole: punteggi positivi e negativi
La tavola Z è divisa in due sezioni: una per i punteggi Z negativi (valori a sinistra della media) e una per i punteggi Z positivi (valori a destra). Entrambe riportano la probabilità cumulativa P(Z ≤ z).
Come si legge la tavola Z
Ogni cella della tavola contiene la probabilità cumulativa P(Z ≤ z), ovvero l'area sotto la curva a sinistra del punteggio z.
Passi per trovare una probabilità
- Calcola il punteggio Z con la formula Z = (X − μ) / σ.
- Identifica la parte intera e il primo decimale: sono la riga della tavola (es. 1,4).
- Identifica il secondo decimale: è la colonna (es. 0,03 → colonna 0,03).
- Leggi il valore all'incrocio: quella è P(Z ≤ z).
Trovare l'area a destra
La tavola dà sempre l'area a sinistra. Per l'area a destra di z basta calcolare:
Trovare l'area tra due valori
Esempi pratici
Esempio 1 — Probabilità con Z positivo
Qual è la probabilità che Z sia minore di 1,64?
Nella tavola dei punteggi positivi, cerca la riga 1,6 e la colonna 0,04.
Il valore letto è 0,9495, quindi P(Z < 1,64) ≈ 94,95%.
Esempio 2 — Probabilità con Z negativo
Qual è la probabilità che Z sia minore di −1,28?
Nella tavola dei punteggi negativi, cerca la riga −1,2 e la colonna 0,08.
Il valore letto è 0,1003, quindi P(Z < −1,28) ≈ 10,03%.
Esempio 3 — Area tra due punteggi Z
Qual è la probabilità che Z sia compreso tra −1,00 e 1,00?
P(Z < 1,00) = 0,8413 | P(Z < −1,00) = 0,1587
Circa il 68,26% dei valori ricade entro una deviazione standard dalla media.
Valori critici Z più usati
In statistica inferenziale si usano spesso questi valori critici per i test a due code:
| Livello di confidenza | α (due code) | Valore critico Z |
|---|---|---|
| 90% | 0,10 | ±1,645 |
| 95% | 0,05 | ±1,960 |
| 98% | 0,02 | ±2,326 |
| 99% | 0,01 | ±2,576 |
| 99,9% | 0,001 | ±3,291 |
