דף עבודה: משתנים מקריים בדידים

התפלגות אחידה בדידה

1. מטילים קובייה הוגנת פעם אחת. יהי \(X\) התוצאה המתקבלת. מהי ההסתברות ש-\(X=3\)?

מאחר והקובייה הוגנת, לכל פאה יש הסתברות שווה להתקבל. ישנן 6 פאות אפשריות (1, 2, 3, 4, 5, 6).
לכן, \(P(X=k) = \frac{1}{n}\) כאשר \(n\) הוא מספר התוצאות האפשריות.
במקרה זה, \(n=6\), ולכן \(P(X=3) = \frac{1}{6}\).

2. בוחרים באקראי מספר שלם בין 1 ל-10 (כולל). מהי ההסתברות שהמספר שנבחר גדול מ-7?

המשתנה המקרי \(X\) מתפלג אחיד על הקבוצה \(\{1, 2, ..., 10\}\). ישנן 10 תוצאות אפשריות, ולכל אחת הסתברות \(\frac{1}{10}\).
המספרים הגדולים מ-7 הם 8, 9, 10. ישנם 3 מספרים כאלה.
לכן, \(P(X > 7) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10}\).

התפלגות בינומית

1. מטילים מטבע הוגן 5 פעמים. מהי ההסתברות לקבל "עץ" בדיוק 3 פעמים?

This is a binomial distribution problem. Let \(X\) be the number of heads.
Number of trials, \(n=5\).
Probability of success (getting a head), \(p=0.5\).
Number of successes, \(k=3\).
The probability mass function (PMF) for a binomial distribution is:

\[P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

So, \(P(X=3) = \binom{5}{3} (0.5)^3 (1-0.5)^{5-3}\)
\(P(X=3) = 10 \times (0.5)^3 \times (0.5)^2 = 10 \times (0.5)^5 = 10 \times 0.03125 = 0.3125\).
בעברית: מספר הניסויים \(n=5\), הסתברות להצלחה (קבלת "עץ") \(p=0.5\), מספר הצלחות רצוי \(k=3\). ההסתברות היא 0.3125.

2. במפעל מסוים, 10% מהמוצרים פגומים. אם נדגום באופן אקראי 8 מוצרים (עם החזרה, או מאוכלוסייה גדולה מאוד), מהי ההסתברות שלכל היותר מוצר אחד יהיה פגום?

Let \(X\) be the number of defective products.
\(n=8\) (number of trials/products sampled).
\(p=0.1\) (probability of a product being defective).
We want to find \(P(X \le 1)\), which means \(P(X=0) + P(X=1)\).
\(P(X=0) = \binom{8}{0} (0.1)^0 (1-0.1)^{8-0} = 1 \times 1 \times (0.9)^8 \approx 0.43046721\)
\(P(X=1) = \binom{8}{1} (0.1)^1 (1-0.1)^{8-1} = 8 \times 0.1 \times (0.9)^7 \approx 8 \times 0.1 \times 0.4782969 = 0.38263752\)
\(P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1) \approx 0.43046721 + 0.38263752 \approx 0.81310473\).
בעברית: נרצה לחשב \(P(X \le 1)\). כלומר, \(P(X=0) + P(X=1)\). ההסתברות היא בקירוב 0.8131.

ליצירת קשר - מורה להסתברות ✉️

התפלגות פואסון

1. במרכזיית טלפונים מתקבלות בממוצע 3 שיחות בדקה. מה ההסתברות שבמהלך דקה מסוימת יתקבלו בדיוק 2 שיחות?

This is a Poisson distribution problem.
The average rate of events, \(\lambda = 3\) calls per minute.
We want to find the probability of \(k=2\) calls in a minute.
The PMF for a Poisson distribution is:

\[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\]

So, \(P(X=2) = \frac{e^{-3} 3^2}{2!} = \frac{e^{-3} \times 9}{2}\)
Using \(e^{-3} \approx 0.049787\),
\(P(X=2) \approx \frac{0.049787 \times 9}{2} \approx \frac{0.448083}{2} \approx 0.22404\).
בעברית: הפרמטר של פואסון הוא \(\lambda=3\). אנו רוצים למצוא \(P(X=2)\). ההסתברות היא בקירוב 0.224.

2. מספר הטעויות הדפוס בעמוד בספר מתפלג פואסונית עם ממוצע של 0.5 טעויות לעמוד. מה ההסתברות שבעמוד מסוים לא יהיו טעויות כלל?

Here, \(\lambda = 0.5\) errors per page.
We want to find the probability of \(k=0\) errors.
\(P(X=0) = \frac{e^{-0.5} (0.5)^0}{0!} = \frac{e^{-0.5} \times 1}{1} = e^{-0.5}\)
Using \(e^{-0.5} \approx 0.60653\).
So, \(P(X=0) \approx 0.60653\).
בעברית: \(\lambda=0.5\). אנו רוצים למצוא \(P(X=0)\). ההסתברות היא בקירוב 0.6065.

התפלגות גיאומטרית

1. זורקים קובייה הוגנת שוב ושוב עד שמתקבל המספר 6. מה ההסתברות שהפעם הראשונה שבה יתקבל 6 היא בזריקה השלישית?

This is a geometric distribution problem. Let \(X\) be the number of trials until the first success.
Probability of success (getting a 6), \(p = \frac{1}{6}\).
We want to find the probability that the first success is on the \(k=3\)-rd trial.
The PMF for a geometric distribution (number of trials) is:

\[P(X=k) = (1-p)^{k-1} p\]

So, \(P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^{3-1} \times \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \times \frac{1}{6}\)
\(P(X=3) = \frac{25}{36} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216} \approx 0.11574\).
בעברית: הסתברות להצלחה (קבלת 6) היא \(p=1/6\). אנו רוצים למצוא \(P(X=3)\). ההסתברות היא \(\frac{25}{216}\), בקירוב 0.1157.

2. ההסתברות ששחקן כדורסל יקלע זריקת עונשין היא 0.7. השחקן זורק עד שהוא קולע בפעם הראשונה. מה ההסתברות שהקליעה הראשונה תהיה בזריקה השנייה או השלישית?

Probability of success (making a shot), \(p=0.7\).
We want to find \(P(X=2 \text{ or } X=3) = P(X=2) + P(X=3)\) since these are mutually exclusive events.
\(P(X=2) = (1-0.7)^{2-1} \times 0.7 = (0.3)^1 \times 0.7 = 0.3 \times 0.7 = 0.21\).
\(P(X=3) = (1-0.7)^{3-1} \times 0.7 = (0.3)^2 \times 0.7 = 0.09 \times 0.7 = 0.063\).
So, \(P(X=2 \text{ or } X=3) = 0.21 + 0.063 = 0.273\).
בעברית: \(p=0.7\). נחשב \(P(X=2) + P(X=3)\). ההסתברות היא 0.273.

התפלגות היפרגיאומטרית

1. בכד יש 5 כדורים אדומים ו-7 כדורים כחולים. מוציאים באקראי 4 כדורים ללא החזרה. מהי ההסתברות שיוצאו בדיוק 2 כדורים אדומים?

This is a hypergeometric distribution problem.
Population size, \(N = 5 (\text{red}) + 7 (\text{blue}) = 12\).
Number of success states in population (red balls), \(K=5\).
Number of draws (sample size), \(n=4\).
Number of observed successes (red balls drawn), \(k=2\).
The PMF for a hypergeometric distribution is:

\[P(X=k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}\]

So, \(P(X=2) = \frac{\binom{5}{2} \binom{12-5}{4-2}}{\binom{12}{4}} = \frac{\binom{5}{2} \binom{7}{2}}{\binom{12}{4}}\)
\(\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\).
\(\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\).
\(\binom{12}{4} = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495\).
\(P(X=2) = \frac{10 \times 21}{495} = \frac{210}{495} \approx 0.42424\).
בעברית: גודל האוכלוסייה \(N=12\), מספר הפריטים מסוג "הצלחה" באוכלוסייה \(K=5\) (אדומים), גודל המדגם \(n=4\), מספר ההצלחות במדגם \(k=2\). ההסתברות היא \(\frac{210}{495}\), בקירוב 0.4242.

2. מחפיסת קלפים סטנדרטית (52 קלפים) דוגמים 5 קלפים ללא החזרה. מה ההסתברות שבדיוק 3 מהקלפים שנדגמו הם "לב"?

Population size, \(N=52\).
Number of hearts in the deck (success states), \(K=13\).
Number of cards drawn (sample size), \(n=5\).
Number of hearts drawn (observed successes), \(k=3\).
\(P(X=3) = \frac{\binom{13}{3} \binom{52-13}{5-3}}{\binom{52}{5}} = \frac{\binom{13}{3} \binom{39}{2}}{\binom{52}{5}}\)
\(\binom{13}{3} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286\).
\(\binom{39}{2} = \frac{39 \times 38}{2 \times 1} = 39 \times 19 = 741\).
\(\binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,598,960\).
\(P(X=3) = \frac{286 \times 741}{2,598,960} = \frac{211926}{2598960} \approx 0.08154\).
בעברית: \(N=52, K=13, n=5, k=3\). ההסתברות היא בקירוב 0.0815.

התפלגות אחידה בדידה

התפלגות בינומית

התפלגות פואסון

התפלגות גיאומטרית

התפלגות היפרגיאומטרית

חידון קצר