Calculadora de Distribución Binomial

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Cómo usar la Calculadora de Distribución Binomial

Una guía sencilla paso a paso para calcular probabilidades, media, varianza y desviación estándar para cualquier experimento binomial.

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Define tu experimento (n y p)

Comienza ingresando los dos parámetros fundamentales de tu distribución binomial en los campos de entrada de la calculadora:

  • Ensayos (n): Ingresa el número total de ensayos independientes (p. ej., número de lanzamientos de moneda, número de productos probados). Debe ser un número entero positivo.
  • Probabilidad de éxito (p): Ingresa la probabilidad de "éxito" en un solo ensayo. Debe ser un valor decimal entre 0 y 1 (p. ej., 0,5 para una moneda justa, 0,03 para una tasa de defectos del 3%).
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Establece los límites de probabilidad (a y b)

Para calcular rangos de probabilidad específicos, establece el límite inferior (a) y el límite superior (b). Estos definen el rango de "éxitos" que te interesan.

  • Límite inferior (a): El número mínimo de éxitos que deseas incluir en el cálculo.
  • Límite superior (b): El número máximo de éxitos que deseas incluir en el cálculo.

Consejo: La calculadora está diseñada para proporcionar resultados para las tres preguntas de probabilidad más comunes basadas en tus entradas de a y b: P(X < a), P(X > b) y P(a ≤ X ≤ b).

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Haz clic en "Calcular" y revisa los resultados

Después de ingresar todos los valores, haz clic en el botón Calcular para generar los resultados en tiempo real. La sección de salida se actualizará con tres tipos principales de información:

  • Medidas estadísticas: Los valores esperados para la distribución, incluidos la Media (E[X]), la Varianza (Var[X]) y la Desviación estándar (σ).
  • Cálculos de probabilidad: Las respuestas numéricas para P(X < a), P(X > b) y P(a ≤ X ≤ b).
  • Gráficos visuales: Gráficos interactivos que muestran la Función de Masa de Probabilidad (FMP) y la Función de Distribución Acumulada (FDA). Estos gráficos te ayudan a visualizar la forma de la distribución.
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Explora la tabla de datos y exporta

Debajo de los resultados principales, encontrarás la Tabla de Distribución Binomial completa, que lista el P(X = k) exacto (FMP) y P(X ≤ k) (FDA) para cada número posible de éxitos k (de 0 a n).

Usa los botones Descargar/Copiar para guardar tu trabajo:

  • Guardar PDF / Guardar PNG: Exporta todo el resumen de resultados, incluidos gráficos y estadísticas clave, a un documento compartible.
  • Copiar tabla de datos: Copia rápidamente los resultados numéricos de la tabla para pegarlos en una hoja de cálculo.

Entendiendo la Distribución Binomial

La Distribución Binomial es una distribución de probabilidad discreta fundamental en estadística, utilizada para modelar el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes. Cada ensayo debe tener solo dos resultados posibles, a menudo etiquetados como "éxito" o "fracaso". Esto la convierte en una herramienta invaluable para analizar una amplia gama de escenarios del mundo real.

Condiciones para un experimento binomial

Para que una situación sea descrita con precisión por una distribución binomial, debe cumplir cuatro criterios específicos, conocidos colectivamente como ensayos de Bernoulli:

La fórmula de probabilidad binomial

La probabilidad de observar exactamente \(k\) éxitos en \(n\) ensayos viene dada por la Función de Masa de Probabilidad (FMP):

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Donde:

Ejemplos con respuestas paso a paso

Ejemplo 1: Control de calidad

Problema: Una fábrica produce componentes electrónicos. La probabilidad de que un solo componente sea defectuoso es del 3%. Si un inspector de calidad selecciona aleatoriamente un lote de 50 componentes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sean defectuosos?

1. Identificar los parámetros:

  • Número de ensayos, \(n = 50\)
  • Probabilidad de éxito (un componente defectuoso), \(p = 0,03\)
  • Número de éxitos que queremos, \(k = 2\)

2. Aplicar la fórmula:

$$P(X=2) = \binom{50}{2} (0{,}03)^2 (1-0{,}03)^{50-2}$$

3. Calcular cada parte:

  • Combinaciones: \(\binom{50}{2} = \frac{50!}{2!(50-2)!} = 1225\)
  • Término de éxito: \((0{,}03)^2 = 0{,}0009\)
  • Término de fracaso: \((0{,}97)^{48} \approx 0{,}2311\)

4. Combinar los resultados:

\(P(X=2) = 1225 \times 0{,}0009 \times 0{,}2311 \approx 0{,}2555\)

Respuesta: Hay aproximadamente un 25,55% de probabilidad de encontrar exactamente 2 componentes defectuosos en un lote de 50.

Ejemplo 2: Ensayo clínico

Problema: Un nuevo medicamento tiene una tasa de éxito del 70% en el tratamiento de una determinada condición. Si el medicamento se administra a 20 pacientes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 18 de ellos sean tratados con éxito?

1. Identificar los parámetros:

  • Número de ensayos, \(n = 20\)
  • Probabilidad de éxito (tratamiento efectivo), \(p = 0{,}70\)
  • "Al menos 18" significa que necesitamos encontrar \(P(X \ge 18)\), que es \(P(X=18) + P(X=19) + P(X=20)\).

2. Calcular la probabilidad para cada valor de k:

  • Para \(k=18\): \(P(X=18) = \binom{20}{18} (0{,}7)^{18} (0{,}3)^2 \approx 0{,}1071\)
  • Para \(k=19\): \(P(X=19) = \binom{20}{19} (0{,}7)^{19} (0{,}3)^1 \approx 0{,}0278\)
  • Para \(k=20\): \(P(X=20) = \binom{20}{20} (0{,}7)^{20} (0{,}3)^0 \approx 0{,}0008\)

3. Sumar las probabilidades:

\(P(X \ge 18) = 0{,}1071 + 0{,}0278 + 0{,}0008 = 0{,}1357\)

Respuesta: La probabilidad de que al menos 18 de 20 pacientes sean tratados con éxito es aproximadamente 13,57%.