Cómo usar esta calculadora
Paso 1: Ingresa tus parámetros
- Probabilidad de éxito (p): La probabilidad de éxito en cada ensayo individual (debe estar entre 0 y 1; por ejemplo, 0.2 significa un 20% de probabilidad de éxito por ensayo)
- Límite inferior del ensayo (a): El número de ensayo inicial para los cálculos de rango (debe ser ≥ 1)
- Límite superior del ensayo (b): El número de ensayo final para los cálculos de rango (debe ser ≥ a)
Paso 2: Haz clic en "Calcular"
La calculadora mostrará instantáneamente:
- P(X < a): La probabilidad de que el primer éxito ocurra antes del ensayo a
- P(X > b): La probabilidad de que el primer éxito ocurra después del ensayo b
- P(a ≤ X ≤ b): La probabilidad de que el primer éxito ocurra entre los ensayos a y b (inclusive)
- Medidas estadísticas: media (número esperado de ensayos = 1/p), varianza y desviación estándar
- Gráficos visuales: PMF (gráfico de barras) que muestra la probabilidad del primer éxito en cada ensayo, y CDF (función escalonada) que muestra las probabilidades acumuladas
- Tabla completa de probabilidades: valores de PMF y CDF para los ensayos del 1 al 30, que puedes copiar al portapapeles
Paso 3: Exporta tus resultados
Usa los botones debajo de los resultados para:
- Copiar tabla: Copia todos los datos de probabilidad para pegarlos en Excel, Google Sheets u otro software
- Guardar como PNG: Descarga los gráficos y el resumen como imagen para informes o presentaciones
- Guardar como PDF: Genera un informe completo con todos los cálculos, visualizaciones y la tabla de probabilidades completa
💡 Consejo rápido: La distribución geométrica modela el "tiempo de espera" hasta el primer éxito. Si p = 0.2, necesitarás un promedio de 1/0.2 = 5 ensayos para obtener tu primer éxito. A diferencia de la distribución binomial (ensayos fijos), ¡aquí el número de ensayos es lo que varía! Si a > b, la calculadora intercambiará automáticamente los valores.
Comprensión de la Distribución Geométrica
La Distribución Geométrica es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de ensayos requeridos para lograr el primer éxito en una serie de ensayos de Bernoulli independientes. A diferencia de la distribución Binomial, que tiene un número fijo de ensayos, la distribución geométrica se ocupa del "tiempo de espera" hasta que ocurre un éxito.
Condiciones para un experimento geométrico
Para que un escenario pueda modelarse con una distribución geométrica, debe cumplir las siguientes condiciones:
- Ensayos independientes: El resultado de un ensayo no influye en el resultado de los ensayos posteriores.
- Dos resultados posibles: Cada ensayo da como resultado uno de dos desenlaces: "éxito" o "fracaso".
- Probabilidad constante (p): La probabilidad de éxito (p) es la misma para cada ensayo.
- Ensayos variables: El experimento continúa hasta que se observa el primer éxito. El número de ensayos es la variable aleatoria de interés.
La fórmula de probabilidad geométrica
La probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo \(k\)-ésimo está dada por la Función de Masa de Probabilidad (PMF):
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p$$
Esta fórmula tiene sentido intuitivo: para que el primer éxito ocurra en el ensayo \(k\), deben ocurrir \(k-1\) fracasos consecutivos, cada uno con probabilidad \((1-p)\), seguidos de un éxito con probabilidad \(p\).
- Media / Valor esperado: \(E[X] = \frac{1}{p}\)
- Varianza: \(Var[X] = \frac{1-p}{p^2}\)
Ejemplos con soluciones paso a paso
Ejemplo 1: Lanzamiento de un dado
Problema: Estás lanzando un dado estándar de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que saques un '6' sea en tu cuarto lanzamiento?
1. Identificar los parámetros:
- Probabilidad de éxito (sacar un '6'), \(p = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667\)
- Número de ensayo para el primer éxito, \(k = 4\)
2. Aplicar la fórmula:
$$P(X=4) = \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{4-1} \times \frac{1}{6}$$
3. Calcular cada parte:
- Probabilidad de fracaso: \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
- Término de fracaso: \(\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216} \approx 0{,}5787\)
4. Combinar los resultados:
\(P(X=4) = \frac{125}{216} \times \frac{1}{6} = \frac{125}{1296} \approx 0{,}0965\)
Respuesta: Hay aproximadamente un 9,65% de probabilidad de que el primer '6' que saques sea en el cuarto intento.
Ejemplo 2: Control de calidad
Problema: Una máquina produce bombillas con un 5% de probabilidad de ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bombilla defectuosa se encuentre dentro de las primeras 3 bombillas probadas?
1. Identificar los parámetros:
- Probabilidad de éxito (encontrar una bombilla defectuosa), \(p = 0{,}05\)
- Necesitamos encontrar \(P(X \le 3)\), que es \(P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)\).
2. Calcular la probabilidad para cada valor de k:
- Para \(k=1\): \(P(X=1) = (0{,}95)^{1-1} \times 0{,}05 = 1 \times 0{,}05 = 0{,}05\)
- Para \(k=2\): \(P(X=2) = (0{,}95)^{2-1} \times 0{,}05 = 0{,}95 \times 0{,}05 = 0{,}0475\)
- Para \(k=3\): \(P(X=3) = (0{,}95)^{3-1} \times 0{,}05 = (0{,}95)^2 \times 0{,}05 \approx 0{,}0451\)
3. Sumar las probabilidades:
\(P(X \le 3) = 0{,}05 + 0{,}0475 + 0{,}0451 = 0{,}1426\)
Alternativa usando la CDF: La fórmula de la CDF es \(P(X \le k) = 1 - (1-p)^k\).
\(P(X \le 3) = 1 - (1 - 0{,}05)^3 = 1 - (0{,}95)^3 = 1 - 0{,}857375 \approx 0{,}1426\)
Respuesta: La probabilidad de que la primera bombilla defectuosa se encuentre dentro de las tres primeras probadas es aproximadamente 14,26%.