Calculadora de Distribución de Poisson

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Lambda (λ):

Punto 'a':

Punto 'b':

Cómo usar la Calculadora de Distribución de Poisson

Una guía sencilla paso a paso para calcular probabilidades, media, varianza y desviación estándar para cualquier proceso de Poisson.

Define el parámetro de tasa (λ)

Comienza ingresando el parámetro fundamental de tu distribución de Poisson en el campo de entrada de la calculadora:

Lambda (λ): Ingresa la tasa media de ocurrencia de tu evento. Representa el número esperado de eventos que ocurren en tu intervalo fijo (ej. 5 clientes por hora, 2,3 defectos por metro cuadrado). Debe ser un número positivo.

Consejo: Lambda puede ser cualquier valor decimal positivo. Por ejemplo, λ = 3,5 significa que se esperan 3,5 eventos por intervalo.

Establece los puntos de interés (a y b)

Para calcular rangos de probabilidad específicos, establece el punto 'a' y el punto 'b'. Estos definen el rango de ocurrencias que deseas analizar.

Punto 'a': Un valor usado para calcular P(X = a) y P(X < a).
Punto 'b': Un valor usado para calcular P(X > b) y el rango P(a ≤ X ≤ b).

Consejo: La calculadora proporciona resultados para las preguntas de probabilidad más comunes: P(X = a), P(X < a), P(X > b) y P(a ≤ X ≤ b).

Haz clic en "Calcular" y revisa los resultados

Tras ingresar todos los valores, haz clic en el botón Calcular para generar los resultados en tiempo real. La sección de salida se actualizará con tres tipos principales de información:

Medidas estadísticas: Las propiedades clave de tu distribución de Poisson, incluyendo la Media (E[X]), Varianza (Var[X]) y Desviación Estándar (σ). Nota: en las distribuciones de Poisson, la media y la varianza siempre son iguales a λ.
Cálculos de probabilidad: Las respuestas numéricas para P(X = a), P(X < a), P(X > b) y P(a ≤ X ≤ b).
Gráficos visuales: Representaciones interactivas de la Función de Masa de Probabilidad (PMF) y la Función de Distribución Acumulada (CDF). Estos gráficos ayudan a visualizar cómo se distribuyen las probabilidades.

Explora la tabla de datos y exporta

Debajo de los resultados principales encontrarás la tabla completa de distribución de Poisson, que lista el P(X = k) (PMF) y P(X ≤ k) (CDF) exactos para cada número posible de ocurrencias k (generalmente de 0 a 30 o más, dependiendo de λ).

Usa los botones de Descarga/Copia para guardar tu trabajo:

Guardar como PNG / Guardar como PDF: Exporta el resumen completo de resultados, incluidos los gráficos y estadísticas clave, en un documento compartible.
Copiar tabla de datos: Copia rápidamente los resultados numéricos de la tabla para pegarlos en una hoja de cálculo para análisis adicional.

Comprendiendo la Distribución de Poisson

La Distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad de que ocurra un número determinado de eventos en un intervalo fijo de tiempo o espacio. Dichos eventos deben ocurrir con una tasa media constante conocida y de forma independiente entre sí.

Condiciones para un experimento de Poisson

Los eventos son independientes entre sí. La ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de que ocurra otro.
La tasa media de ocurrencia (λ, lambda) es constante para el intervalo.
Dos eventos no pueden ocurrir exactamente en el mismo instante.
La probabilidad de un evento en un subintervalo pequeño es proporcional a la longitud de dicho subintervalo.

La fórmula de Poisson

La probabilidad de observar exactamente $k$ eventos en un intervalo está dada por la Función de Masa de Probabilidad (PMF):

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

Donde:

$k$ es el número de ocurrencias (k = 0, 1, 2, ...).
$\lambda$ (lambda) es el número medio de eventos por intervalo.
$e$ es el número de Euler (aproximadamente 2,71828).

Una propiedad clave de la distribución de Poisson es que su media y varianza son iguales:

Media / Valor esperado: $E[X] = \lambda$

Varianza: $Var[X] = \lambda$

Ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: Centro de llamadas

Problema: Un centro de llamadas recibe en promedio 4 llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de recibir exactamente 2 llamadas en un minuto dado?

1. Identificar el parámetro:

La tasa media, $\lambda = 4$ llamadas por minuto.
El número de ocurrencias de interés, $k = 2$.

2. Aplicar la fórmula:

$$P(X=2) = \frac{4^2 e^{-4}}{2!}$$

3. Calcular cada parte: $4^2 = 16$, $e^{-4} \approx 0{,}0183$, $2! = 2$.

4. Combinar los resultados: $P(X=2) = \frac{16 \times 0{,}0183}{2} = \frac{0{,}2928}{2} \approx 0{,}1464$

Respuesta: Hay aproximadamente un 14,64% de probabilidad de recibir exactamente 2 llamadas en un minuto.

Ejemplo 2: Errores en un sitio web

Problema: Un sitio web experimenta en promedio 1,5 errores de servidor por día. ¿Cuál es la probabilidad de experimentar como máximo 1 error mañana?

1. Identificar el parámetro:

La tasa media, $\lambda = 1{,}5$ errores por día.
"Como máximo 1" significa que debemos hallar $P(X \le 1)$, que es $P(X=0) + P(X=1)$.

2. Calcular la probabilidad para cada k:

$P(X=0) = \frac{1{,}5^0 e^{-1{,}5}}{0!} = \frac{1 \times e^{-1{,}5}}{1} \approx 0{,}2231$

$P(X=1) = \frac{1{,}5^1 e^{-1{,}5}}{1!} = \frac{1{,}5 \times e^{-1{,}5}}{1} \approx 0{,}3347$

3. Sumar las probabilidades: $P(X \le 1) = 0{,}2231 + 0{,}3347 = 0{,}5578$

Respuesta: La probabilidad de experimentar 0 o 1 error de servidor mañana es de aproximadamente 55,78%.