Calculadora de Intervalo de Confianza para la Diferencia entre Dos Medias Independientes

Calcula el IC para μ₁ − μ₂ con procedimiento t agrupado o t de Welch. Incluye prueba F y pasos detallados.

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Muestra 1

Muestra 2

Parámetros

Usa 0.05 para un intervalo de confianza del 95%.

La prueba F integrada ayuda a orientar esta elección. Si el valor p de la prueba F es menor que α, se recomienda Welch.

Cómo calcular el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias

Sigue estos cuatro pasos para obtener el intervalo de confianza (IC) para la diferencia entre dos medias poblacionales independientes (\(\mu_1 - \mu_2\)):

  1. Introduce los datos de cada muestra. En las secciones "Muestra 1" y "Muestra 2", ingresa la media muestral (\(\bar{x}\)), la desviación estándar muestral (\(s\)) y el tamaño de muestra (\(n\)).
  2. Define el nivel de significancia. Escribe el valor de \(\alpha\) en el campo correspondiente. Para un IC del 95%, usa \(\alpha = 0.05\).
  3. Elige el supuesto sobre las varianzas.
    • Selecciona varianzas iguales para usar el procedimiento t agrupado.
    • Selecciona varianzas desiguales para usar el procedimiento t de Welch.
    La prueba F integrada te orientará: si su valor p < α, se recomiendan Welch.
  4. Haz clic en "Calcular intervalo de confianza". Obtendrás el resultado de la prueba F, el valor t crítico, el margen de error y los límites inferior y superior del IC, junto con los cálculos paso a paso.

Clave de interpretación: Si el intervalo contiene el cero, no hay evidencia estadística suficiente para afirmar que las dos medias poblacionales son diferentes al nivel de confianza elegido.

Marco teórico: intervalos de confianza para dos muestras independientes

Cuando se comparan las medias de dos poblaciones independientes —por ejemplo, la eficacia de un nuevo fármaco frente a un placebo, o el rendimiento académico con dos métodos de enseñanza distintos— se busca estimar la diferencia \(\mu_1 - \mu_2\). Un intervalo de confianza ofrece un rango de valores plausibles para esa diferencia.

Datos de entrada y estimación puntual

Para dos muestras independientes se recopilan:

La estimación puntual de \(\mu_1 - \mu_2\) es \(\bar{x}_1 - \bar{x}_2\).

Prueba F de igualdad de varianzas

Antes de construir el IC, conviene verificar si las varianzas poblacionales son iguales. La hipótesis nula es \(H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2\). El estadístico F se calcula como:

\( F = \dfrac{\max(s_1^2,\, s_2^2)}{\min(s_1^2,\, s_2^2)} \)

Para una prueba bilateral, el valor p es \(2 \times P(F_{gl_{num},\, gl_{den}} \ge F_{calc})\). Si el valor p < α, se rechaza \(H_0\) y se recomienda el procedimiento de Welch.

Caso 1: varianzas iguales (procedimiento t agrupado)

Se calcula la varianza agrupada:

\( s_p^2 = \dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \)

El error estándar de la diferencia es:

\( SE = \sqrt{s_p^2\!\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)} \)

El IC con \(gl = n_1 + n_2 - 2\) grados de libertad es:

\( IC = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2,\, gl} \cdot SE \)

Caso 2: varianzas desiguales (procedimiento t de Welch)

El error estándar es:

\( SE = \sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}} \)

Los grados de libertad efectivos se aproximan con la ecuación de Welch-Satterthwaite:

\( gl \approx \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\dfrac{\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}} \)

El IC es:

\( IC = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2,\, gl} \cdot SE \)

El método de Welch es más robusto cuando existe duda sobre la igualdad de varianzas.

Interpretación del intervalo de confianza

Un IC del \((1-\alpha)\times 100\%\) para \(\mu_1 - \mu_2\) se interpreta así: "Tenemos una confianza del \((1-\alpha)\times 100\%\) de que la verdadera diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre el límite inferior y el límite superior."

Supuestos del procedimiento t para dos muestras

  1. Independencia: las dos muestras deben ser independientes entre sí.
  2. Muestreo aleatorio: los datos de cada muestra deben obtenerse aleatoriamente.
  3. Normalidad: las poblaciones deben ser aproximadamente normales, o los tamaños muestrales deben ser suficientemente grandes (\(n_1 \ge 30\) y \(n_2 \ge 30\)) para que aplique el Teorema Central del Límite.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo debo usar el procedimiento t de Welch en lugar del t agrupado?

Usa el procedimiento t de Welch cuando no puedas asumir que las varianzas poblacionales son iguales. Si la prueba F arroja un valor p menor que α, las varianzas difieren significativamente y Welch es la opción más adecuada. En caso de duda, Welch es generalmente más seguro.

¿Qué significa que el intervalo de confianza contenga el cero?

Si el IC para \(\mu_1 - \mu_2\) incluye el cero, no hay evidencia estadística suficiente para concluir que existe diferencia entre las dos medias poblacionales al nivel de confianza elegido. El resultado es compatible con \(\mu_1 = \mu_2\).

¿Qué es la ecuación de Welch-Satterthwaite?

Es una fórmula que aproxima los grados de libertad efectivos cuando las varianzas no se asumen iguales. El resultado suele ser un número no entero; el software estadístico puede usarlo directamente, lo que produce un IC más preciso que redondear al entero inferior.

¿Cuál es la diferencia entre intervalo de confianza y prueba de hipótesis?

Ambos métodos están íntimamente relacionados. Un IC del 95% es equivalente a una prueba bilateral con \(\alpha = 0.05\): si el IC no contiene el cero, se rechazaría \(H_0: \mu_1 = \mu_2\) al mismo nivel de significancia. El IC, además, cuantifica la magnitud y dirección de la diferencia.