Intervalle de confiance pour la différence entre deux moyennes indépendantes (données brutes)

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Collez vos deux échantillons de données brutes ci-dessous — inutile de calculer vous-même la moyenne ou l'écart type. Vous préférez saisir directement les statistiques résumées ? Utilisez plutôt la version à partir de données résumées.

Échantillon 1

Échantillon 2

Paramètres


Un test F d'égalité des variances sera effectué automatiquement. Son résultat peut vous aider à faire ce choix.

Comment utiliser cette calculatrice

Utilisez cette calculatrice pour trouver l'intervalle de confiance (IC) de la différence entre deux moyennes de populations indépendantes ($\mu_1 - \mu_2$) directement à partir de données brutes. Suivez ces quatre étapes simples :

  1. Collez vos données brutes : Collez les valeurs brutes de l'échantillon 1 et de l'échantillon 2 dans les deux zones de texte. Les valeurs peuvent être séparées par des virgules, des espaces ou des retours à la ligne — la calculatrice calcule automatiquement la taille de l'échantillon, la moyenne et l'écart type.
  2. Définissez le niveau de signification : Saisissez le niveau de signification souhaité ($\alpha$). Pour un intervalle de confiance à 95 %, la valeur standard est 0,05.
  3. Choisissez l'hypothèse sur les variances : Choisissez « Supposer des variances égales » pour utiliser la procédure t regroupée, ou « Ne pas supposer des variances égales » pour utiliser la procédure t de Welch. Le résultat du test F affiché après le calcul peut vous aider à faire ce choix.
  4. Obtenez les résultats : Cliquez sur Calculer. L'outil affiche le résultat du test F, la valeur t critique, la marge d'erreur, ainsi que les bornes inférieure et supérieure finales de l'intervalle de confiance.

Remarque sur l'interprétation : Si l'intervalle de confiance contient zéro, il n'y a pas de différence statistiquement significative entre les deux moyennes de population au niveau de confiance choisi.

Contexte théorique : intervalles de confiance pour deux échantillons indépendants

Lorsqu'on compare les moyennes de deux populations indépendantes (par exemple, comparer l'efficacité d'un nouveau médicament à celle d'un placebo, ou les performances scolaires d'élèves selon deux méthodes d'enseignement différentes), on souhaite souvent estimer la différence entre leurs moyennes de population, \(\mu_1 - \mu_2\). Un intervalle de confiance fournit une plage de valeurs plausibles pour cette différence.

Des données brutes aux statistiques résumées

À partir des données brutes de chaque échantillon, la calculatrice calcule d'abord la moyenne d'échantillon et l'écart type d'échantillon pour chaque groupe :

\( \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}, \qquad s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \)

Ces statistiques résumées sont ensuite utilisées exactement comme elles le seraient dans un calcul d'intervalle de confiance à partir de données résumées.

Vérification de l'égalité des variances (test F)

Une considération importante est de savoir si les variances des deux populations (\(\sigma_1^2\) et \(\sigma_2^2\)) peuvent être supposées égales. Cette hypothèse influe sur la formule utilisée pour l'intervalle de confiance. Un test F est couramment utilisé pour vérifier cette hypothèse.

La statistique F est calculée comme le rapport des variances d'échantillon, la plus grande variance étant placée au numérateur pour simplifier le calcul de la valeur p :

\( F = \frac{\max(s_1^2, s_2^2)}{\min(s_1^2, s_2^2)} \)

Si la valeur p du test F est inférieure au niveau de signification choisi (par exemple, \(\alpha = 0.05\)), on rejette \(H_0\) et on conclut que les variances sont probablement différentes.

Cas 1 : variances de population supposées égales (intervalle t regroupé)

Si l'on suppose \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\), on calcule une estimation regroupée de la variance commune, \(s_p^2\) :

\( s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} \)

L'intervalle de confiance utilise \(ddl = n_1+n_2-2\) degrés de liberté :

\( IC = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2, ddl} \cdot s_p\sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}} \)

Cas 2 : variances de population non supposées égales (intervalle t de Welch)

Si l'on ne peut pas supposer \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2\), l'intervalle t de Welch est plus approprié. Les degrés de liberté sont approximés par l'équation de Welch-Satterthwaite :

\( ddl \approx \frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1} + \frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}} \)

La méthode de Welch est généralement robuste et recommandée en cas de doute sur l'égalité des variances.

Interpréter l'intervalle de confiance

Un intervalle de confiance à \( (1-\alpha) \times 100\% \) pour \(\mu_1 - \mu_2\) s'interprète ainsi : « Nous sommes confiants à \( (1-\alpha) \times 100\% \) que la véritable différence entre les moyennes de population se situe entre la borne inférieure et la borne supérieure de l'intervalle. » Si l'intervalle contient zéro, il n'y a pas suffisamment de preuves pour conclure à une différence significative ; s'il ne le contient pas, la différence est statistiquement significative à ce niveau de confiance.

Exemple résolu

Avec les données par défaut ci-dessus : l'échantillon 1 a n=10, moyenne ≈ 23,98, écart type ≈ 1,42 ; l'échantillon 2 a n=10, moyenne ≈ 20,16, écart type ≈ 0,86. En supposant des variances égales, l'erreur type regroupée est d'environ 0,524, ce qui donne un IC à 95 % pour la différence d'environ [2,62 ; 5,02]. Comme cet intervalle est entièrement positif et ne contient pas zéro, il existe des preuves statistiquement significatives que la moyenne de l'échantillon 1 est supérieure à celle de l'échantillon 2.

Comment faire ce calcul en R

sample1 <- c(23.1, 25.4, 22.8, 24.0, 26.1, 21.9, 24.7, 25.9, 23.5, 22.4)
sample2 <- c(20.5, 19.8, 21.2, 20.0, 18.9, 21.6, 19.4, 20.8, 19.1, 20.3)

# Intervalle t de Welch (par défaut)
t.test(sample1, sample2, conf.level = 0.95)

# Intervalle t regroupé (si les variances sont supposées égales)
t.test(sample1, sample2, var.equal = TRUE, conf.level = 0.95)

Comment faire ce calcul en Python

from scipy import stats
import numpy as np

sample1 = [23.1, 25.4, 22.8, 24.0, 26.1, 21.9, 24.7, 25.9, 23.5, 22.4]
sample2 = [20.5, 19.8, 21.2, 20.0, 18.9, 21.6, 19.4, 20.8, 19.1, 20.3]

result = stats.ttest_ind(sample1, sample2, equal_var=False)  # Welch
ci = result.confidence_interval(confidence_level=0.95)
print(ci.low, ci.high)

Comment faire ce calcul en SPSS

Analyser → Comparer les moyennes → Test T pour échantillons indépendants. Placez votre variable de résultat dans « Variable(s) à tester » et votre variable de groupe dans « Variable de regroupement ». SPSS exécute automatiquement le test de Levene pour l'égalité des variances, ainsi que les intervalles de confiance des tests t regroupé et de Welch, côte à côte.

Comment faire ce calcul en JASP

Tests T → Test T pour échantillons indépendants. Placez votre variable dépendante dans la case Variable dépendante et votre variable de groupe dans la case Variable de regroupement. Sous Vérification des hypothèses, activez Égalité des variances (Levene), et sous Statistiques, activez Intervalle de confiance.

Hypothèses des procédures t pour deux échantillons

  1. Indépendance des échantillons : les deux échantillons doivent être indépendants l'un de l'autre.
  2. Échantillonnage aléatoire : les données de chaque échantillon doivent être tirées aléatoirement de leurs populations respectives.
  3. Normalité : les deux populations doivent suivre approximativement une distribution normale, OU les deux tailles d'échantillon doivent être suffisamment grandes (par exemple, \(n_1 \ge 30\) et \(n_2 \ge 30\)) pour que le théorème central limite s'applique. Les procédures t sont raisonnablement robustes aux écarts à la normalité, en particulier avec des échantillons de grande taille.