Calculateur de Test H de Kruskal-Wallis | statistical-calculators.site

Comprendre le Test H de Kruskal-Wallis

Le test H de Kruskal-Wallis est un test non paramétrique (sans distribution) utilisé pour déterminer s'il existe des différences statistiquement significatives entre deux groupes ou plus d'une variable indépendante sur une variable dépendante continue ou ordinale. Il est considéré comme l'alternative non paramétrique à l'ANOVA unidirectionnelle et constitue une extension du test U de Mann-Whitney pour permettre la comparaison de plus de deux groupes indépendants.

Quand Utiliser le Test de Kruskal-Wallis

Vous devez utiliser le test de Kruskal-Wallis dans les situations suivantes :

Vous souhaitez comparer les médianes de trois groupes indépendants ou plus.
Vos données ne satisfont pas aux hypothèses d'une ANOVA unidirectionnelle, en particulier l'hypothèse de normalité. Ce calculateur inclut le test de Shapiro-Wilk pour vous aider à évaluer cette hypothèse.
Votre variable dépendante est mesurée sur une échelle ordinale ou continue.

Hypothèses

Le test de Kruskal-Wallis repose sur quelques hypothèses clés :

Indépendance des Observations : Les observations dans chaque groupe (et entre les groupes) doivent être indépendantes les unes des autres.
Données Ordinales ou Continues : La variable dépendante doit être mesurée sur au moins une échelle ordinale.
Forme de Distribution Similaire : Pour que le test soit interprété comme une comparaison des médianes, la distribution des données pour chaque groupe doit avoir une forme similaire. Le tracé de densité inclus peut aider à évaluer cela visuellement.

La Formule

La statistique de test, H, est calculée à l'aide de la formule suivante :

$$ H = \left[ \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \frac{R_i^2}{n_i} \right] - 3(N+1) $$

Où :

$N$ = nombre total d'observations dans tous les groupes
$k$ = nombre de groupes
$R_i$ = somme des rangs pour le groupe $i$
$n_i$ = nombre d'observations dans le groupe $i$

S'il y a des rangs ex aequo dans les données, un facteur de correction est appliqué à la valeur H.

Exemples avec Solutions Étape par Étape

Exemple 1 : Comparaison des Méthodes d'Enseignement

Un éducateur souhaite comparer l'efficacité de trois méthodes d'enseignement différentes sur les notes d'examen des étudiants. Les scores des étudiants de chaque méthode sont enregistrés.

Méthode A : 78, 82, 85, 75
Méthode B : 88, 92, 90, 86, 94
Méthode C : 72, 79, 81, 74

Étape 1 : Énoncer les Hypothèses

Hypothèse Nulle ($H_0$): Les médianes des notes d'examen sont les mêmes pour les trois méthodes d'enseignement.

Hypothèse Alternative ($H_1$): Au moins une méthode d'enseignement a une médiane de note d'examen différente.

Étape 2 : Combiner et Classer les Données

Combinez tous les points de données et attribuez un rang à chacun, du plus bas au plus élevé.

Score	Groupe	Rang
72	C	1
74	C	2
75	A	3
78	A	4
79	C	5
81	C	6
82	A	7
85	A	8
86	B	9
88	B	10
90	B	11
92	B	12
94	B	13

Étape 3 : Calculer la Somme des Rangs pour Chaque Groupe

Additionnez les rangs pour chaque méthode d'enseignement.

Méthode A (R1) : 3 + 4 + 7 + 8 = 22
Méthode B (R2) : 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 55
Méthode C (R3) : 1 + 2 + 5 + 6 = 14

Ici, $n_1=4$, $n_2=5$, $n_3=4$, et le N total = 13.

Étape 4 : Calculer la Statistique H

$$ H = \left[ \frac{12}{13(13+1)} \left( \frac{22^2}{4} + \frac{55^2}{5} + \frac{14^2}{4} \right) \right] - 3(13+1) $$ $$ H = \left[ \frac{12}{182} (121 + 605 + 49) \right] - 42 $$ $$ H = 51.1 - 42 = 9.1 $$

Étape 5 : Déterminer la valeur p et Conclure

Les degrés de liberté (dl) = k - 1 = 3 - 1 = 2. Nous comparons notre valeur H (9,1) à une distribution du khi-deux avec 2 dl. La valeur critique pour $\alpha = 0,05$ est 5,99. Puisque 9,1 > 5,99, nous rejetons l'hypothèse nulle. La valeur p calculée pour H=9,1 est d'environ 0,0106.

Conclusion : Il existe une différence statistiquement significative dans les notes d'examen entre les trois méthodes d'enseignement.

Exemple 2 : Impact de l'Engrais sur le Rendement des Cultures

Un agriculteur teste trois engrais différents pour voir s'ils ont un effet différent sur le rendement des cultures (en boisseaux par acre). Les rendements ne sont pas distribués normalement.

Engrais 1 : 25, 28, 30, 24
Engrais 2 : 35, 33, 36, 38, 32
Engrais 3 : 29, 26, 28, 27

Étape 4 : Appliquer la Correction pour les Ex Aequo

Le facteur de correction (C) est : $ C = 1 - \frac{\sum(t^3 - t)}{N^3 - N} $, où 't' est le nombre d'observations ex aequo dans un groupe d'ex aequo. Nous avons un groupe d'ex aequo de 2 valeurs (t=2).

$$ C = 1 - \frac{(2^3 - 2)}{13^3 - 13} \approx 0.99725 $$

Le H corrigé est $H_{corrigé} = H / C $ :

$$ H_{corrigé} = \frac{8.64}{0.99725} \approx 8.66 $$

Étape 5 : Conclure

Avec dl=2, H=8,66 est toujours supérieur à la valeur critique de 5,99. La valeur p est d'environ 0,0132. Nous rejetons l'hypothèse nulle et concluons qu'il existe une différence significative dans le rendement des cultures entre les engrais.