Le test U de Mann-Whitney, également connu sous le nom de Test de Somme des Rangs de Wilcoxon, est un test statistique **non paramétrique** utilisé pour comparer les différences entre deux groupes indépendants lorsque la variable dépendante est ordinale ou continue, mais n'est pas distribuée normalement. Il est l'équivalent non paramétrique du test t pour échantillons indépendants. Le test détermine si deux échantillons indépendants proviennent d'une population ayant la même distribution.
Vous devriez envisager d'utiliser le test U de Mann-Whitney lorsque les hypothèses d'un test paramétrique comme le test t ne sont pas satisfaites, par exemple lorsque les données ne sont pas distribuées normalement. Il est particulièrement utile pour les données ordinales ou pour les données continues qui sont asymétriques. Ce test est fréquemment appliqué dans divers domaines tels que la psychologie, la santé et les affaires pour comparer des éléments comme les attitudes, les effets de deux traitements différents ou les préférences des clients entre deux groupes.
Le test U de Mann-Whitney fonctionne en classant toutes les données des deux groupes ensemble, puis en comparant la somme des rangs pour chaque groupe. Les résultats du test comprennent :
Au sens strict, un résultat significatif du test U de Mann-Whitney indique qu'une population a tendance à avoir des valeurs plus élevées que l'autre.
Q1: Comment la statistique U est-elle calculée manuellement ?
Le calcul implique quelques étapes clés. Tout d'abord, combinez toutes les données des deux groupes en un seul ensemble et classez-les du plus bas au plus élevé. Ensuite, calculez la somme des rangs pour chaque groupe, notée \(R_1\) et \(R_2\).
Ensuite, calculez une valeur U pour chaque groupe en utilisant les formules suivantes, où \(n_1\) et \(n_2\) sont les tailles d'échantillon des groupes 1 et 2, respectivement :
$$ U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1 + 1)}{2} - R_1 $$ $$ U_2 = n_1 n_2 + \frac{n_2(n_2 + 1)}{2} - R_2 $$La statistique du test U de Mann-Whitney est la plus petite de ces deux valeurs :
$$ U = \min(U_1, U_2) $$Q2: Comment le test gère-t-il les rangs ex aequo ?
Lorsque deux observations ou plus ont la même valeur, elles se voient attribuer la moyenne des rangs qu'elles auraient occupés. Par exemple, si trois valeurs sont ex aequo pour les 5e, 6e et 7e positions, chacune se voit attribuer le rang de \((5 + 6 + 7) / 3 = 6\). Bien que cela n'affecte pas le calcul de U, cela réduit la variance de la distribution U. Pour les grands échantillons qui utilisent l'approximation Z, un facteur de correction est appliqué à la formule de l'écart-type pour tenir compte des ex aequo.
Q3: Quand l'approximation Z est-elle utilisée et comment est-elle calculée ?
Pour les grandes tailles d'échantillon (une règle empirique courante est lorsque \(n_1\) et \(n_2\) sont tous deux supérieurs à 10), la distribution d'échantillonnage de la statistique U peut être approximée par une distribution normale. Cela permet le calcul d'un score Z, qui est ensuite utilisé pour trouver la valeur p. Le score Z est calculé comme suit :
$$ Z = \frac{U - \mu_U}{\sigma_U} $$Où :
Q4: Quelle est la différence entre le test U de Mann-Whitney et le test de Somme des Rangs de Wilcoxon ?
Dans les statistiques modernes, ces deux noms sont utilisés de manière interchangeable pour désigner le même test statistique. Historiquement, ils ont été développés indépendamment mais sont mathématiquement équivalents. Frank Wilcoxon a d'abord proposé le test en utilisant la somme des rangs (\(R\)), tandis qu'Henry Mann et Donald Whitney l'ont développé plus tard en utilisant la statistique \(U\), qui est une simple fonction linéaire de \(R\). Les conclusions tirées des deux seront toujours identiques.