Les permutations et combinaisons sont des concepts fondamentaux en combinatoire, une branche des mathématiques traitant du dénombrement, à la fois comme moyen et comme fin pour obtenir des résultats, et de certaines propriétés des structures finies.
Une permutation (ou arrangement) est un agencement d'éléments dans un ordre spécifique. Lorsque nous parlons de permutations, l'ordre de sélection est important.
Par exemple, si nous sélectionnons 'r' éléments parmi un ensemble de 'n' éléments distincts, le nombre de façons d'agencer ces 'r' éléments est donné par la formule de permutation :
nPr = n! / (n-r)!
Où '!' désigne l'opération factorielle (par ex., 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1).
Cette formule compte le nombre de différents agencements ordonnés possibles.
Une combinaison est une sélection d'éléments d'un ensemble où l'ordre de sélection n'a pas d'importance.
Par exemple, si nous choisissons 'r' éléments parmi un ensemble de 'n' éléments distincts, le nombre de façons de choisir ces éléments, quel que soit leur ordre, est donné par la formule de combinaison :
nCr = n! / (r! × (n-r)!)
Cette formule compte le nombre de différentes sélections non ordonnées possibles. C'est essentiellement le nombre de permutations divisé par r! (le nombre de façons d'ordonner les 'r' éléments sélectionnés).
Problème : Dans une course avec 10 athlètes, de combien de manières différentes les médailles d'or, d'argent et de bronze peuvent-elles être attribuées ?
Solution : Ici, n = 10 (nombre total d'athlètes) et r = 3 (médailles à attribuer). L'ordre est important car donner à l'Athlète A l'or et à l'Athlète B l'argent est différent de donner à l'Athlète B l'or et à l'Athlète A l'argent. Nous utilisons donc les permutations.
10P3 = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = (10 × 9 × 8 × 7!) / 7! = 10 × 9 × 8 = 720.
Il y a 720 manières différentes d'attribuer les médailles.
Problème : D'un groupe de 10 personnes, combien de comités différents de 3 personnes peuvent être formés ?
Solution : Ici, n = 10 (nombre total de personnes) et r = 3 (taille du comité). L'ordre dans lequel les personnes sont choisies pour le comité n'a pas d'importance (un comité de {Alice, Bob, Charlie} est le même que {Charlie, Alice, Bob}). Nous utilisons donc les combinaisons.
10C3 = 10! / (3! × (10-3)!) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8 × 7!) / ((3 × 2 × 1) × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120.
Il y a 120 comités différents qui peuvent être formés.
Problème : Combien de mains de poker de 5 cartes différentes peuvent être distribuées à partir d'un jeu standard de 52 cartes à jouer ?
Solution : Ici, n = 52 (nombre total de cartes dans un jeu) et r = 5 (cartes dans une main). L'ordre dans lequel les cartes sont distribuées dans une main n'a pas d'importance. Nous utilisons donc les combinaisons.
52C5 = 52! / (5! × (52-5)!) = 52! / (5! × 47!) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311 875 200 / 120 = 2 598 960.
Il y a 2 598 960 mains de 5 cartes différentes possibles.