Was ist die Chi-Quadrat-Verteilung (χ²)?
Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die hauptsächlich verwendet wird für:
- Anpassungstest (Goodness-of-Fit) – Prüfen, ob eine Stichprobe aus einer Population mit einer bestimmten Verteilung stammt
- Unabhängigkeitstest – Prüfen, ob ein Zusammenhang zwischen zwei kategorialen Variablen besteht
- Homogenitätstest – Prüfen, ob mehrere Populationen die gleiche Verteilung aufweisen
Aufbau der χ²-Verteilungstabelle
Die χ²-Verteilungstabelle enthält die kritischen Werte der χ²-Verteilung für verschiedene Signifikanzniveaus (α) und Freiheitsgrade (df).
Freiheitsgrade (df)
Die Freiheitsgrade in der χ²-Tabelle hängen von der Art des Tests ab:
- Anpassungstest: df = k - 1 (wobei k die Anzahl der Kategorien ist)
- Unabhängigkeitstest: df = (r - 1) × (c - 1) (wobei r die Anzahl der Zeilen und c die Anzahl der Spalten ist)
Signifikanzniveau (α)
Das Signifikanzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, die Nullhypothese abzulehnen, obwohl sie wahr ist (Fehler 1. Art).
Beispiele zur Verwendung der Tabelle
Beispiel 1: Anpassungstest
Angenommen wir haben 5 Kategorien (df = 4) und ein Signifikanzniveau von 0,05.
Suchen Sie in der Tabelle die Zeile für df=4 und die Spalte für α=0,05.
Der Tabellenwert beträgt 9,4877.
Beispiel 2: Unabhängigkeitstest
Angenommen wir haben eine 3×3-Tabelle (df = 4) und ein Signifikanzniveau von 0,01.
Der kritische Wert aus der Tabelle ist 13,2767.
Wenn unser berechneter χ²-Wert größer als 13,2767 ist, lehnen wir die Nullhypothese ab.
Beispiel 3: Berechnung des Konfidenzintervalls für die Varianz
Um ein 95%-Konfidenzintervall für die Varianz mit df=9 zu berechnen:
Die kritischen Werte aus der Tabelle sind 2,7004 (α=0,975) und 19,0228 (α=0,025).
Konfidenzintervall = [(n-1)s²/χ²α/2, (n-1)s²/χ²1-α/2]
