Was ist die Standardnormalverteilung (z-Verteilung)?
Die Standardnormalverteilung (auch z-Verteilung oder Gauß-Verteilung) ist eine Normalverteilung mit Mittelwert μ = 0 und Standardabweichung σ = 1. Sie wird verwendet, um Wahrscheinlichkeiten und Perzentile für normalverteilte Daten zu berechnen.
Aufbau der z-Tabelle
Die Standardnormalverteilungstabelle zeigt die kumulative Verteilungsfunktion Φ(z) = P(Z ≤ z). Sie gibt die Fläche unter der Kurve links von einem bestimmten z-Wert an.
Wie liest man die Tabelle?
- Zeilen: Ganze Zahl und erste Dezimalstelle von z (z.B. 1,2)
- Spalten: Zweite Dezimalstelle von z (z.B. 0,03 für z = 1,23)
- Tabellenwert: Wahrscheinlichkeit P(Z ≤ z) – die Fläche links von z
Wichtige Eigenschaften
- Die Gesamtfläche unter der Kurve ist 1
- Die Verteilung ist symmetrisch um 0
- P(Z ≤ -z) = 1 - P(Z ≤ z) aufgrund der Symmetrie
- Für z = 0 ist P(Z ≤ 0) = 0,5
Beispiele zur Verwendung der z-Tabelle
Beispiel 1: Wahrscheinlichkeit für z ≤ 1,23
Gegeben: z = 1,23
In der Tabelle: Zeile 1,2 und Spalte 0,03
Abgelesener Wert: 0,8907
Interpretation: 89,07 % der Werte liegen unter einem z-Wert von 1,23.
Beispiel 2: Wahrscheinlichkeit für z ≥ -0,50
Gesucht: P(Z ≥ -0,50) = 1 - P(Z ≤ -0,50)
Für z = -0,50: Aufgrund der Symmetrie gilt: P(Z ≤ -0,50) = 1 - P(Z ≤ 0,50) = 1 - 0,6915 = 0,3085
Daher: P(Z ≥ -0,50) = 1 - 0,3085 = 0,6915
Beispiel 3: z-Wert für ein Perzentil finden
Gesucht ist der z-Wert, unter dem 95 % der Werte liegen (95. Perzentil).
In der Tabelle sucht man den Wert 0,95 (oder den nächstgelegenen).
Gefundener Wert: 0,9495 bei z = 1,64 und 0,9505 bei z = 1,65
Der kritische Wert ist ungefähr 1,645.
Beispiel 4: zweiseitiger Test (α = 0,05)
Für ein Signifikanzniveau von 0,05 bei einem zweiseitigen Test:
α/2 = 0,025 → Gesucht: z-Wert für 1 - 0,025 = 0,975
Aus Tabelle: z₀,₉₇₅ ≈ 1,96
Kritische Werte sind -1,96 und +1,96.
